結論から言うとソフトバンクの迷惑メール設定が原因
Twitterのアプリケーションを作成するには携帯電話の番号を登録しないと作成できなくなったようです。
そこで早速Twitterの設定画面からモバイルを選択して確認を…としたら、いつまで経ってもメールが送られてきません。
これじゃあ遅々として作業が進まないな…と困っていたら、こちらの携帯の設定でTwitterからのメールを弾いていたという話です。
認証用コードを受け取る方法
「メール設定 ＞ 迷惑メールブロック設定方法 ＞ 個別設定 ＞ 海外からの電話番号メール拒否設定」が有効になっているとTwitterからの「認証用コード」が届きません。
携帯から無効にするか、パソコンならソフトバンクの「個別設定ページ」でログインして変更することもできます。
今回はソフトバンクの設定でしたが、設定によっては認証用コードが送られてこないのは別のキャリアでも同じようです。
追記：auやDocomoでもPCからのメールを拒否していると届かないようです。
追記2：電話番号メール拒否を無効にするというオプションが有効な場合も届かないようです。
追記3：auの場合、SNSの設定で「受信フィルター」が「アドレス帳登録外」という設定が有効な場合、無効にしてみてください。